4 Solution of Electrostatic Problems
章节目录
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- 4-2 泊松方程与拉普拉斯方程
- 4-3 静电场的唯一性定理 Uniqueness of Electrostatic Solutions
- 4-4 镜像法 Method of Images
- 4-5 直角坐标系的边值问题 (分离变量法)
4-2 泊松方程与拉普拉斯方程
回顾静电场基本方程的微分形式：
根据电势和电场的关系
DEFINITION
泊松方程 Possion Equation
当
PROBLEM 例题
平行板电容器两板间距离为d，并分别保持电势为
（a）两板之间任意点的电势，
（b）板上的面电荷密度。
SOLUTION
(a)
由于忽略极板边缘效应，因此由对称性可得极板电势只与y轴有关。 在两极板中间区域，根据定义和边界条件可以写出静电场方程：
又因为
这是一个常微分方程，因此直接对两边积分两次，可以得到：
带入
(b)
因为该电容由上下两个导体极板共同构成，且导体表面电荷密度与导体表面电场强度成正比，因此只需要求出导体表面的电场强度即可得到本小题答案。
确定思路后，先求板间电场：
其中
假设导体表面的单位法向向量为
即上下极板的面电荷密度分别为：
4-3 静电场的唯一性定理 Uniqueness of Electrostatic Solutions
4-3-1 唯一性定理 Uniqueness Theorem
DEFINITION
给定边界条件，满足泊松方程的解一定是是唯一解。
即满足如下方程组的解有且仅有一个：
其中 S 代表边界。
PROBLEM 利用反证法证明唯一性定理
SOLUTION
假设 通过该定理找到两个解
两个解同时满足：
将它们相减可得：
注意到第一个式子退化成一个拉普拉斯方程，且边界上均为0，展开该方程得到：
假如 U 在该空间中存在一个不为0的极大值或极小值，则其一阶导函数必然不为0且斜率不为0（各方向上同号），故其二阶导函数也不可能为0。
因此该处的拉普拉斯方程必然不能满足
即：
所以假设的两个解相等，不存在不同的第二解，唯一性得证。
4-3-2 自然边界条件与三类边界条件
DEFINITION
在一个开放空间中，对于一个有限区域的体电荷分布，有：
即在无限远处，距离与电势的乘积总是有限的。
这一条件被称为 开放空间的自然边界条件 Natural Boundary Condition 。
1. 第一类边界条件：边界电势
形式为
意思是边界上每一点的电势都已知。这是最常见的一种边界条件。
2. 第二类边界条件：法向导数
形式为
在静电学中，这也通常被等价为边界上的法向电场或者法向电位移，即
纯第二类边界条件下，电势一般只能确定到一个加法常数。
3. 第三类边界条件：电势和法向导数的线性组合
形式为
4-4 镜像法 Method of Images
4-4-1 镜像法的基本原理
由静电场的唯一性原理可知，对于一个区域，只要其边界条件一定，且内部电荷分布一定，其解也是一定的。
对于一些复杂的面电荷或者体电荷，通过将它们替换为在特定位置摆放特定的点电荷或线电荷，保持其边界条件和电荷分布不变，即可将一个复杂的问题等效为一个简单的点电荷问题。
这就是镜像法的核心思想和原理。
IMPORTANT
确定镜像电荷的两个原则
- 镜像电荷必须放置在求解区域之外
- 镜像电荷的个数、位置和电量大小的选择，目的是使该问题的边界条件保持不变。
4-4-2 点电荷镜像导体平面
- 点电荷镜像无限大接地平板
PROBLEM
一个无限大的导体平板接地，其上方
SOLUTION
对极板下方列静电场方程：
因为在极板下方电势的二阶导数恒为0，所以可以认为电势在这个区域不会出现极大值和极小值。
所以极板下方电势恒为0。
在极板上方空间列静电场方程：
其边界出现在极板平面上，因此考虑镜像法替换该极板，使得该区域的边界条件不变。
放置一个反极性电荷-q相对于q关于极板对称，并移去极板：
此时对
边界条件没有发生变化。
随后整理得
| 表达式 / 说明 | |
|---|---|
| 镜像电荷 | |
| 电势函数 | |
| 当 |
- 线电荷镜像无限大接地平板
PROBLEM
一个无限大的导体平板接地，其上方
设导体平面为
SOLUTION
对极板下方列静电场方程：
因为在极板下方不存在自由电荷，且边界
在极板上方空间列静电场方程：
其边界出现在极板平面上，因此考虑用镜像法替换该极板，使得该区域的边界条件不变。
在极板下方关于平面
并移去极板。
此时对
边界条件没有发生变化。
设场点为
其中：
为场点到真实线电荷的距离； 为场点到镜像线电荷的距离。
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 镜像线电荷 | |
| 电势函数 | |
| 当 |
因此，该镜像电荷构成的等效场满足原边值问题的全部条件，所以它就是原问题在极板上方空间中的正确解。
- 两相交接地半无限导体平面之间的点电荷
PROBLEM
两块半无限大导体平面互相垂直相交，并且都接地。设真实点电荷
求该区域内的电势分布。
SOLUTION
设两接地导体平面分别为
真实点电荷位于第一象限：
原问题的边界条件为：
其边界出现在两接地导体平面上，因此考虑使用镜像法，使得该区域的边界条件保持不变。
先对平面
再对平面
为了同时满足两个边界条件，再对上述镜像继续关于另一平面作镜像，得到第三个镜像电荷
设场点为
于是电势函数可写为
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 真实电荷 | |
| 镜像电荷 1 | |
| 镜像电荷 2 | |
| 镜像电荷 3 | |
| 电势函数 |
验证边界条件：
当
故
当
故
因此，该镜像电荷构成的等效场满足原边值问题的全部条件，所以它就是原问题在有效区域内的正确解。
TIP
对于两相交接地导体平面形成的楔形边界，镜像法仍然适用。
若楔角为
则通过连续镜像反射，可以在有限步内得到全部镜像电荷。
此时：
- 真实电荷共对应
个对称位置； - 除去原电荷外，共需要
个镜像电荷。
其选择原则仍然是：
- 镜像电荷必须放置在求解区域之外；
- 镜像电荷的个数、位置和电量大小必须保证原边界上仍有
例如：
- 当
个镜像电荷； - 当
个镜像电荷。
最终电势均可由“真实电荷 + 全部镜像电荷”的电势按叠加原理求得。
4-4-3 点电荷镜像导体球
- 点电荷镜像接地导体球
PROBLEM
半径为
求球外区域的电势分布、导体球表面的感应电荷面密度以及总感应电荷。
SOLUTION
球外区域满足的边值问题为：
由于边界是球面，因此镜像电荷应放在球内，并且与真实电荷、球心在同一直线上。
设镜像电荷为
其中
为了使整个球面上均有
由几何关系可得：
因此镜像电荷的位置和电量分别为
所以球外区域的电势为
验证边界条件：
当
因此
故球面上满足
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 真实电荷 | |
| 镜像电荷 | |
| 电势函数 | |
| 球面边界 |
导体表面的感应电荷面密度可由法向电场求得：
代入上式可得
总感应电荷为
可以看到，对于接地导体球，导体球表面的总感应电荷等于镜像电荷的电量。
- 点电荷镜像接地空心导体球壳
PROBLEM
半径为
求球壳内部区域的电势分布以及内表面的总感应电荷。
SOLUTION
球壳内部区域满足的边值问题为：
由于要求解区域是球壳内部，因此镜像电荷必须放在求解区域之外，也就是放在球壳外部。
仍设镜像电荷与真实电荷、球心共线。根据与上一问相同的边界条件，有
此时由于
球壳内部的电势为
当
所以球面边界上电势为零。
内表面的感应电荷面密度为
注意这里的法向取向与外部导体球问题相反，因此符号与上一问不同。
计算得到
于是内表面总感应电荷为
这里需要注意：
也就是说，镜像电荷只是为了等效边界条件而引入的辅助电荷，并不总是等于真实导体表面上的总感应电荷。
如果导体球壳还有外半径
而外表面的形状和半径不会进入空腔内的边值问题。
- 点电荷镜像不接地导体球
PROBLEM
半径为
求球外区域的电势分布。
SOLUTION
不接地导体球仍然是等势体，但其电势不一定为零。
同时，因为导体球原来不带电，所以导体球表面的总感应电荷应满足
先借用接地导体球的结果，在球内放置镜像电荷
这一部分保证球面为零电势，但它对应的总感应电荷为
为了使导体球总电荷为零，需要再在球心放置一个补偿镜像电荷
球心电荷到球面上任一点的距离都为
于是球外区域电势为
其中
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 真实电荷 | |
| 第一镜像电荷 | |
| 补偿镜像电荷 | |
| 电势函数 | |
| 总感应电荷 |
导体球表面的感应电荷分布可以理解为两部分叠加：
- 接地导体球对应的非均匀负电荷分布；
- 球心补偿电荷对应的均匀正电荷分布。
因此，不接地导体球表面的负电荷分布与接地导体球相同，但为了保证总电荷为零，还会叠加一层均匀的正电荷分布。
4-4-4 线电荷镜像导体圆柱
PROBLEM
半径为
求圆柱外区域的电势分布以及导体圆柱表面的感应电荷面密度。
SOLUTION
圆柱外区域满足的边值问题为：
由于真实电荷是一根无限长线电荷，镜像电荷也应取为一根与其平行的无限长线电荷。
设镜像线电荷密度为
设圆柱表面上一点
为了使导体圆柱成为等势体，需要有
根据圆柱几何关系，当镜像线电荷放在
处时，有
因此圆柱表面确实为等势面。
若要求接地圆柱表面电势为零，只需在电势中加入相应的常数，得到圆柱外区域电势：
其中
验证边界条件：
当
因此
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 真实线电荷 | |
| 镜像线电荷 | |
| 电势函数 | |
| 圆柱面边界 |
导体圆柱表面的感应电荷面密度为
代入电势函数可得
单位长度上的总感应电荷为
因此，对于接地导体圆柱，每单位长度上的总感应电荷等于镜像线电荷的线电荷密度。
TIP
镜像法处理导体球和导体圆柱时，关键并不是直接猜导体表面上的真实电荷分布，而是先找到能够保持边界条件不变的等效电荷。
常见结果可以记为：
| 原问题 | 镜像位置 | 镜像电荷 |
|---|---|---|
| 球外点电荷 | ||
| 球内点电荷 | ||
| 圆柱外线电荷 |
但要特别注意：镜像电荷只是辅助构造，是否等于总感应电荷，要看具体问题。
4-5 直角坐标系的边值问题 (分离变量法)
4-5-1 分离变量法的基本思想
分离变量法 Method of Separation of Variables 是一种解决边值问题的通用解法。
其基本思想可以总结为：叠加原理+假设变量间可以互相分离。
- 微分方程
在一个直角坐标系中，拉普拉斯方程可以被写为：
然后我们 假设 （这个词在这里可能难以令人接受，但是要相信待定系数法是前人的智慧，在这里假设那肯定能够解出问题的）电势
通常待定系数法不会涉及到三个维度，因为这会使得计算极其复杂。所以在这里忽略 z 轴，得到：
带回拉普拉斯方程，可以得到：
同时除以
显然在这个函数中，任何自变量的改变都会导致二者相加不再为0。因此唯一的可能解仅存在于两项均为常数，因此我们令：
TIP
这里正常数和负常数的选取需要根据实际情况判定。
IMPORTANT
根据如下表格（背诵）：
对于方程
其可能解如下：
| 无 | |||
其中，指数形式与三角函数、双曲函数之间有如下关系：
- 分离常数为
根据上面的取法，有：
也就是说，
当
因此可得零阶解：
当
因此第
- 叠加原理
由于拉普拉斯方程是线性方程，所以所有满足方程的解可以线性叠加。
因此当
其中分离常数
类似地，如果取
则
此时电势的一般形式为：
- 待定系数法的基本步骤
DEFINITION
用分离变量法解直角坐标系边值问题时，通常按如下步骤：
- 写出求解区域内的拉普拉斯方程；
- 根据边界形状假设
- 代入方程并分离变量，得到关于
和 的两个常微分方程； - 根据边界条件选择正分离常数或负分离常数；
- 写出通解并利用叠加原理构造级数形式；
- 将边界条件代入通解，确定
和所有待定系数。
TIP
一般来说，若某个方向上的边界条件要求电势在两个端点取零值，常常会在该方向上选用
选择哪一个方向放三角函数，核心不是死记，而是看哪个方向的边界条件能自然确定
4-5-2 Fourier 正弦级数
在分离变量法中，待定系数通常不是直接“看出来”的，而是通过边界条件的 Fourier 级数展开求出来。
最常用的是 Fourier 正弦级数。
DEFINITION
若函数
上，并希望把它展开为一组正弦函数的线性组合，则可以写成：
其中系数为：
这个公式的来源是正弦函数的正交性：
因此，如果边界条件写成
则两边同时乘以
并在
PROBLEM 常数函数的 Fourier 正弦展开
若
则
其中
所以
也就是说，常数
TIP
做待定系数法时，如果某一步得到
那么可以先把
再逐项比较，得到
4-5-3 例题
PROBLEM 矩形区域三边接地问题
在矩形区域
内没有自由电荷。三条边界接地，顶部边界保持电势
求矩形区域内的电势分布。
SOLUTION
区域内部没有自由电荷，所以电势满足拉普拉斯方程：
根据分离变量法，设
由于边界
所以选择
并由边界条件
得到
因此
此时对应的
再利用边界条件
可知
所以
因此通解可以写为
最后代入顶部边界条件：
即
这说明需要把常数
其中
计算可得
因此
最终电势分布为
由于当
所以实际上只有奇数项保留下来，也可以写为：
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 分离常数 | |
| 待定系数来源 | 由顶部边界 |
TIP
这个例题中，
如果换成
PROBLEM 半无限平行导体槽问题
两块半无限接地导体平面彼此平行，间距为
取求解区域为
边界条件为：
求导体槽内的电势分布。
SOLUTION
由于导体槽沿
区域内部没有自由电荷，所以满足：
设
由于上下边界为零电势：
因此令
由
由
因此
所以
由分离变量关系可知，
又因为当
于是槽内电势可以写为：
再代入左端边界条件：
得到
这说明需要将常数
由前一小节的结果可得：
因此导体槽内的电势分布为：
随后整理得
| 项目 | 表达式 / 说明 |
|---|---|
| 求解区域 | |
| Fourier 系数 | |
| 最终结果 |
TIP
这个例题和上一个矩形槽问题的区别在于：这里的
这样才能满足远处边界条件